鏡材料の機械損失に関する研究

目次
第1 章はじめに5
第2 章重力波とその検出9
2.1 重力波と重力波源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 重力波. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 重力波源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 レーザ干渉計型重力波検出器. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 マイケルソン干渉計の応答. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 世界の大型干渉計計画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 TAMA 計画. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 TAMA300 の構成. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 TAMA300 の雑音源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 本論文の主題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第3 章鏡の熱雑音と鏡のQ 値19
3.1 揺動散逸定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 一般論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 1 次元調和振動子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.3 Q 値と損失φ(ω) のモデル. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.4 Q 値の測定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.5 実際の系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 鏡の熱雑音. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 鏡の換算質量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 全熱雑音. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3 鏡の熱雑音低減のための方策. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.4 鏡の振動モード計算と要求される鏡のQ 値. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 鏡のQ 値. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 Q 値を決める要因. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 測定されるQ 値とここでの実験. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.3 これまでの実験. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 この章のまとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
第4 章固体の機械損失33
4.1 弾性と非弾性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 擬弾性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 粘性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 材料に固有の損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 熱弾性効果(マクロスコピックな場合) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
4.2.2 熱弾性効果(ミクロスコピックな場合-結晶粒子間の熱伝導-) . . . . . . . . 38
4.2.3 フォノン-フォノン相互作用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.4 フォノン-電子相互作用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.5 熱緩和現象. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.6 転位. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.7 点欠陥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 固体のデザインや加工による損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 表面損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 表面の凹凸による散乱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.3 モードカップリング. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 測定系や環境による損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.1 支持による損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.2 残留ガス(音響輻射) による損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.3 その他の損失. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 この章のまとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
第5 章有限要素法による振動モード解析45
5.1 結晶中の弾性波. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 解析解、半解析解と数値解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1 解析解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2 半解析解-Hutchinson の方法- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.3 数値解-有限要素法- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 ANSYS による鏡の振動モード計算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 ANSYS パッケージ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 用いたモデル. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.3 弾性定数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.4 固有ベクトルの規格化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 計算結果とモード同定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.1 溶融石英. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.2 シリコン[111] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.3 シリコン[001] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.4 サファイア[0001] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.5 サファイア[11¯
20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 この章のまとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
第6 章材料のQ 値の測定実験77
6.1 実験装置と試料. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.1 試料支持系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.2 励起系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.3 光学系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.4 制御系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1.5 データ取得系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.6 真空系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.7 試料. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 測定方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 共振周波数の探索. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3
6.2.2 Q 値の測定. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.3 縮退モードにおけるビート. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 実験結果と解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 溶融石英P-30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.2 溶融石英P-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.3 シリコン. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.4 サファイア. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 この章のまとめ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
第7 章まとめと考察117
7.1 有限要素法による振動モード解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 材料のQ 値の測定実験. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3 干渉計型重力波検出器における鏡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4 これからの課題と展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4.1 有限要素法による計算の課題と展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4.2 実験における課題と展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
補遺A 結晶における弾性定数121
A.1 定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2 等方体. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3 立方晶系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.4 三方晶系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
補遺B 異方性を考慮に入れた鏡の熱雑音推定127
B.1 等方体(溶融石英) の場合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.1.1 計算の方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.1.2 Hutchinson との比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.2 異方性物質の場合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.2.1 シリコン. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.2.2 サファイア. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.2.3 両者の特徴と課題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.3 異方性物質を用いた場合の熱雑音レベル. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
謝辞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5
第1章
はじめに
重力波
1916 年、E. Einstein は、弱い重力場においてEinstein 方程式を線形近似し、計量テンソルのミ
ンコフスキー時空からの摂動が、光速で真空中を伝播することを発見した。これが、重力波である。
この存在は、その予言から60 余年後の1978 年、J. H. Taylor とR. A. Hulse の連星パルサー
PSR 1913+16 の観測により間接的に証明された。彼らはこの功績によって、1993 年のノーベル物
理学賞を受賞している。しかし、重力波の直接検出は、1960 年代にWeber が共振型検出器による
実験を開始してから40 年の時を経ているが、いまだに成功していない。この直接検出は、一般相
対性理論の直接的な検証という物理的な意義だけでなく、重力波による天文学の創生という天文学
的に重要な意義ももっている。
このような背景のもと、近年のレーザ技術や精密計測技術の発展をうけ、大型レーザ干渉計型重
力波検出器の建設が世界で進められている。このタイプの検出器は、重力波が入射した際の鏡の間
の固有距離の変動を干渉縞の変化として検出するものである。
本論文の研究は、日本で建設が進められている干渉計型重力波検出器TAMA300 の開発の一部、
特にその鏡の特性を知るために行われた。
鏡の熱雑音
干渉計型重力波検出器の感度を観測帯域で制限するのは鏡の熱雑音であると予測されている。こ
れは、鏡の各固有振動モードにエネルギーkBT /2 が与えられて振動しているため、光路長が変化
し、干渉計の雑音となるものである。観測帯域におけるその寄与は、揺動散逸定理により、鏡の散
逸が小さいほど低減されることが知られている。散逸の大きさはQ 値というパラメータで表され、
Q 値が高いほど系の散逸は小さい。従って、検出器が重力波検出に必要な感度を達成するために
は、内部の機械損失が少ない、高いQ 値を示す材質の鏡が必要とされてくる。鏡のQ 値に対する
検出器の目標感度からの要請は厳しく、鏡のQ 値が2 × 107 必要であるといわれている。しかし、
TAMA300 では現在のところこのQ 値を達成できていない。そのため、鏡のQ 値を上げるための
研究が必要とされている。
6 第1 章はじめに
鏡の機械損失の測定
干渉計を構成する鏡は、検出の原理的な要請から、観測帯域において自由質点として振舞うよう
に、懸架される。従って、検出器に導入される、鏡の損失は、
• 鏡自体の機械損失
• 懸架により導入される外的な損失
の二つの要因で決まることになる。鏡の熱雑音の低減のためには、両者の損失を低減し、Q 値の高
い懸架鏡を実現する必要がある。そのために、鏡の材料としては、機械損失が小さいといわれる材
料が選択される。しかし、その材料を懸架した場合に実現されるQ 値は、結局、外的な損失で制
限されてくる。これは、懸架だけでなく、鏡材料を支持した際には常に生じる問題である。そのた
め、鏡自体の損失と外的な損失を分離して測定が行えた例は過去になかった。
しかし、以下のような目的から、鏡自体の機械損失を独立に知っておくことは重要である。
• 外的な損失の評価を行い、よりよい懸架装置を開発する。
• よりQ の高い懸架鏡を実現できる可能性のある、低損失な鏡材質を探索する。
• 鏡自体の機械損失から、検出器で原理的に到達可能な感度を推定する。
このような目的のため、外的な損失を導入せず、鏡自体の機械損失を直接測定することを本論文の
テーマとした。具体的に行ったことは、有限要素法による振動モード解析と鏡材料のQ 値の測定
である。
振動モード解析
鏡のQ 値の測定には、鏡の固有弾性振動モードを利用する。その振動エネルギーの損失の度合
いからQ 値を知ることができる。支持に伴う損失が鏡に導入されないのは、支持部において鏡の
振動モードが変位を持たない場合である。従って、支持に伴う損失を鏡に導入せずにQ 値の測定
を行うには、鏡の振動モードを詳細に解析し、振動モードの変位のない部分を知ることが必要とな
る。溶融石英のような等方性の物質に関しては、振動モードの半解析的な計算法が知られていた。
その計算によると、多くの振動モードで、円柱形の鏡の中心が不動点となることが示される。一
方、シリコンやサファイアといった異方性のある物質の場合、振動モードを解析するには数値的手
法に頼る必要があることが知られていた。しかし、これまでの数値計算における、共振周波数の誤
差は10% 程度と大きいものであった。将来の干渉計型検出器には、これらの異方性の物質が用い
られると考えられているにもかかわらず、その振動モードの解析は進んでいなかった。
本論文の実験ではこれらの異方性の物質も扱う。そのため、実験に先立って、異方性物質の振動
モードのより詳細な解析を行うことにした。解析のための数値的手法として、有限要素法を用い
た。モデルの改良などにより、各振動モードの共振周波数の計算誤差を1% 程度に抑えることがで
きた。その結果、実験的に得られた共振周波数を計算結果と比較することにより、各共振がどのよ
うな振動モードか、類推することが可能となった。計算された振動モードの形状は、等方性物質で
は見られない、異方性物質特有の複雑なものであった。異方性物質においては、一部の振動モード
のみにおいて円柱の中心が不動点となることが明らかとなった。
鏡材料のQ 値の測定実験のために、振動モードの変位のない部分を知る、という目的は達成さ
れ、実験装置の不動点支持というアイデアはここから生まれた。また、実験結果を解析するのに
も、この計算の結果が用いられた。計算された形状と、測定されたQ 値には相関が認められ、実
験結果の意味付けを明確に行うことができた。
7
異方性物質に関する詳細な計算、その結果の実験への応用が行われたのは、これが最初の例と
なる。
鏡材料の機械損失の測定
計算によって、円柱状の鏡材料の中心は、一部の内部振動モードにおいて、完全な不動点となる
ことが分かった。鏡材料の中心を点接触で支持することができれば、外的な損失は導入されず、鏡
材料の機械損失の直接測定が可能になるはずである。この考えに基づき、試料の中心を2 つのル
ビー球で支持する装置を製作し、測定を行った。試料としては、溶融石英とシリコン、サファイア
を用意した。
TAMA300 で実際に用いられる溶融石英鏡の測定では、Q 値が共振周波数に依存しない、一定値
3 × 106 であることが分かった。これは、中心が変位しない多くの内部振動モードで測定された値
で、鏡材料の機械損失が直接測定できたと考えられる。TAMA300 の目標感度の達成のためには、
懸架鏡のQ 値が2 × 107 必要であるといわれている。従って、ここでの測定結果から、現在の溶融
石英鏡ではTAMA300 の目標感度には原理的に到達できないことが明らかとなった。
シリコンの測定では、Q 値の最高値として、1 × 108 を得た。これも中心が変位しない内部振動
モードで測定された値である。この値は、これまで知られているシリコンのQ 値の最高値を上回
る値であった。この装置においては、支持による外的な損失が試料に導入されにくいことがこれに
よって確認された。このQ 値が、シリコンの機械損失のみで決まっていると断定することはでき
なかった。しかし、この装置により、Q 値1 × 108 以下の材料の測定が可能であることは保証され
た。室温でこのような高いQ 値の測定が可能な支持系の例は多くない。
サファイアの測定では、Q 値の最高値として、6 × 107 を得た。これも中心が変位しない内部振
動モードで測定された値である。同じ種類のサファイアを懸架した場合のQ 値は5 × 106 と報告さ
れている。ここでの測定はそのQ 値を大きく上回っており、装置の有効性が改めて示されたこと
になる。振動モード形状の計算結果と比較すると、試料の表面の損失がサファイアの機械損失を制
限している可能性があることが分かった。これは、将来の検出器にサファイア鏡を導入する際に、
表面の状態に留意せねばならないことを示唆している。
このような実験結果から、試料の中心で点支持を行ってQ 値を測定する本論文の方法が、低損
失鏡材料の機械損失を測定するのに非常に有効な方法であることが確認された。本論文の目的であ
る、鏡材料の機械損失の直接測定は、ほぼ達成されたと考える。
熱雑音の推定への応用
振動モードの計算と、測定されたQ 値を用いて、異方性のある鏡を用いた場合の鏡の熱雑音を
推定することも行った。これまで、異方性を考慮た熱雑音の推定は行われておらず、等方性物質と
近似して推定するにとどまっていた。ここでは初めて異方性を考慮した推定を行うことができた。
その結果、異方性を考慮しても、これまでの推定と大きく変わらないことが分かった。測定された
Q 値の最高値から推定すると、シリコンやサファイアの鏡を用いれば、TAMA300 の目標感度は達
成可能であることが示される。
計算された異方性材料の振動モード、測定されたQ 値、およびここで確立されたQ 値の測定法
そのものも、鏡の熱雑音の推定や低減のための研究に生かされていくことになるであろう。
8 第1 章はじめに
論文の構成
本論文では、まず第2 章で重力波について簡単に解説を行う。現在建設が進められている検出器
についても述べる。
第3 章では鏡の熱雑音について述べ、鏡のQ 値との関係やこれまでの実験について紹介する。
第4 章では、鏡の内部損失についてこれまでに知られていることをまとめる。
第5 章では、ここで行った有限要素法による鏡の振動モードの解析について述べる。
第6 章では、いくつかの鏡材料について、そのQ 値の測定結果を示す。
そして、第7 章で、全体の結論を述べることとする。
9
第2章
重力波とその検出
まずはじめに、ここで行われた研究の動機となっている、重力波の検出について簡単に述べる。
まず、重力波とその放出源を紹介する。
次に、現在世界で建設が進められている干渉計型重力波検出器について述べる。
そして、検出器において、重力波の検出を妨げる雑音源について考える事にする。
2.1 重力波と重力波源

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