数轴与平面直角坐标系：学生分析数形问题的重要工具

摘要：数轴与坐标系是学习数学的重要工具。教师要重视数轴与坐标系的作用，培养学生运用数轴及坐标系的思想意识，从而帮助学生快速解决数学问题。
　　关键词：数轴与坐标系；数学教学；工具
　　作者简介：施忠心，任教于江苏省启东市民主中学。
　　在数学教学过程中，教师要重视坐标系的工具作用，为发现问题、探索规律、解决问题提供有效的研究工具，培养学生运用数轴及坐标系的思想意识。所以，教师在教学过程中应该致力于以下几方面的渗透：
　　一、利用生产生活实践知识，让学生共同了解数轴及坐标系的实际应用，激发学生的学习热情
　　在新课标教材中，提供了相关模型，展示数轴和坐标系的实际应用，但是所提供的信息量还是不够多。比如：人教版七年级上册P10《数轴》仅提供了两个相关例题，表示汽车站的东西方位及温度的正负数表示方法，大量的例题及练习还是比较老套，假如能围绕生活实际问题，将例题设计成教学软件向学生展示，如：“加油站的油位指示仪表，地理中海拔高度，液压器的铭牌，楼层的地下室”等问题，让学生去描点，比较高低，找出两点间的距离公式，顺势得出，不再生搬硬套。
二、利用数轴或坐标系对数进行分类研讨，培养学生自觉运用数轴的观念
　　1.数轴应用中，如果利用数轴或坐标系展示数的分类，研讨内部联系是十分直观的，学生易于接受比较抽象的数学概念。例如：比较倒数a与1/a，画出数轴(如下图)帮助学生理解分类讨论：

　这样教学既形象直观，又可以让学生在七年级就学会了研究方法，到了八年级、九年级学习有关数的概念、函数的单调区间问题，学生就有了类比的方法，如学习幂的性质，比较a2=a，开平方运算a与的大小等问题比较抽象，有了工具就变得形象直观、便于理解。
　　2.在研究综合应用题时，用数轴表示范围。例如：缴纳工资所得税问题。例题：***省对企业职工缴纳工资所得税，做出如下规定：

　 (注：以上工资税率采用分段累进纳税)
　　假如：改用数轴表示该工资所得税纳税表达式(如下图)：

　再如，甲，乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店购买累计50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商品能获得更大的优惠？我们在教学时用下图列式，设购买金额为X元(如下图)：

　教学该例题时，首先用数轴描述优惠价格相应的金额表达式，提示学生要比较哪个更优惠，必须分类讨论：分为几种情况讨论，引导学生用不等式解决“x取值范围”。得出结论后，再次用数轴描述(如下图)：

　通过直观图像，学生受到启发，学会用分类讨论，学会全面慎重的思考问题。
　　3.利用坐标系描写实际问题，在函数关系应用中比较广泛，即使在学习的初期阶段，也可以用坐标系来尝试训练学生的读图理解能力。
　　例如：某电影院的一天票房利润Y元与售出的票数X张有如下关系(如图)，(假设每张票价是一样的)同时，公安部门有规定，人数超过150人后，需缴纳50元的消防安全费。

转贴于
　　如何读懂这幅图呢？可指导学生用坐标思想理解问题，这样问题就变成方程。如(0，-200)表示票数为0张，没有卖出票，利润为-200元，即假如无人看电影，电影院也得承担200元，拷贝、工人工资等固定费用200元。(100，0)表示100张票时利润为0，即得方程100X-200=0，每张票价为2元。诸如此类用坐标系描述路程与时间关系，物理学中熔化与时间关系，综合体现了学科之间的联系。
　　三、拓展培训
　　使学生进一步体会数轴及坐标系的应用价值，真正将坐标系及数轴作为研究数学问题与实际问题的工具。
　　1.纯数学问题的应用，利用坐标系探讨变量，讨论坐标系变化特征与图象变化关系，(人教版七年级下册)要求坐标系研究图象平移与坐标系变化的关系，教学时，可以进一步研究“关于X轴，Y轴对称，原点对称”的坐标特点。在教学时，强调学生要结合图象及坐标系来研究，不要死记硬背结论，同时在教学时进行拓展训练，比如研究平行于X轴、Y轴的直线的坐标特征，关于第一、三象限的角平分线的坐标特征，关于伸缩变换(即Y=af(x))型函数的坐标变化与图形变化关系，研究线段中点坐标特征，利用数轴化简多个绝对值的解……，不唯书本，培养学生会用工具，就会找到解决问题的方法，大大突破了知识局限带来的认知困难，让学生进一步体会数学工具的重要性。
　　2.引进数轴和坐标系时引用了大量的生活实际问题，掌握了相关的概念后，再进行大量的实际引用。例如，从坐标的动态变化中寻找规律。如“有一动点P在坐标系中按如下运动路线作规则运动，若动点P每秒只能运动一个单位长度，那么100秒时，P在何位置？”(如下图)

　　不断挖掘生活素材，让学生捡取一串串美丽的珍珠，点燃智慧的火花，进一步提高学生综合运用坐标系的能力。
　　3.鼓励学生进行创新训练
　　现代多媒体技术在校园中有广泛应用，学生信息技术处理能力大大提高，设计一个多媒体软件，让动画片在自己的手中动起来，用坐标平移、旋转变换、翻转变换，制作活泼可爱的动画形象，体验学习乐趣。
　　总之，真正科学有效地组织数轴与坐标系教学，必须让学生经历感悟——体验——训练——拓展——创新，实现知识能力的飞跃。
Abstract: A number line and coordinate system is an important tool of learning mathematics. Teachers should pay more attention to the role of a number line and coordinate system and cultivate students’ awareness of applying a number line and coordinate system， thus to help students rapidly solve mathematics problems.
Key words: a number line and coordinate system; mathematics teaching; tool